آموزش نوین

عدد نویسی موضعی در سرزمین عیلامی ها ( که بر جنوب و جنوب غربی ایران تسلط  داشتند ) هم در هزاره های پیش از میلاد کم و بیش شکل گرفته بود . قانون دوم عدد نویسی امروزی ( که در ضمن ، نتیجه‌ای از قانون موضعی رقم هاست ) ، استفاده از نماد و نشانه‌ای برای صفر است که بتوان آن را در مرتبه های خالی جای داد .

 تمدن عیلام و میان دورود نابود شد و بسیاری از دستاوردهای ریاضی آنها از یاد رفت ، ولی عدد نویسی موضعی و استفاده از نماد صفر ، بعدها دوباره در هند کشف شد ، و از همانجا و به یاری ریاضیدانان ایرانی به ما و تمامی جهان رسید . این به معنای آن است که عدد نویسی در مرحله‌ای از تکامل خود ، به نناچار به عدد نویسی موضعی و استفاده از نماد صفر می رسد .

بررسی دقیق رسالة سون تسه زی که از سدة سوم میلادی در چین باقی مانده است ، نشان می دهد که ریاضیدانان چینی به کشف کسرهای دهدهی بسیار نزدیک شده بودند . در مسیر تکامل ریاضیات ایرانی هم ، جمشید کاشانی در کتاب مفتاح الحساب خود ( 830 هجری قمری /1427 میلادی ) ، بدون آگاهی از کارهای چینی ها دوباره کسرهای دهدهی را کشف کرد . بیش از 150 سال بعد ، سیمون سته ون کتاب خود را در سال 1585 میلادی در اروپای غربی منتشر کرد و در آن برای بار سوم و باز هم به ظاهر بودن آگاهی از کارهای کاشانی ، کسرهای دهدهی را مطرح ساخت .

همانطور که قبلاً گفتیم ، این همزمانی ها در کشفهای ریاضی آنقدر زیاد است که نمی توان آنها  را تصادفی به شمار آورد . باید قانونی پنهانی ، حاکم بر مسیر تکاملی ریاضیات باشد که موجب کشف همزمان یا همزاد بودن پیشامدها می شود .

توجه به ماهیت ریاضیات و انگیزه های پدید آمدن مفهوم های ریاضی و تکامل آنها می تواند تأییدی بر این قانونمندی باشد . دو انگیزة اصلی موجب پیدایش دانش ریاضی و پیشرفت آن شده است : انگیزة بیرونی و انگیزة درونی . انگیزة بیرونی به معنای تأثیر جهان خارج ، زندگی و قانونمندی های حاکم بر طبیعت است . با پیچیده تر شدن زندگی اجتماعی ، نیازهایی در انسان ایجاد می شود که باید ریاضیات به برخی از آنها پاسخ بدهد در مسیر پیشرفت دانشهای دیگر نیز گره ها و ناروشنی هایی پیش می آید که برطرف کردن آنها جز از طریق ریاضیات ممکن نیست . به همین سبب است که امروز بسیاری از دانش ها ، از اختر شناسی و فیزیک گرفته تا ژن شناسی و تاریخ ، وابسته به ریاضیات شده اند .

این انگیزة بیرونی برای ریاضیات است که سمت گیری کاربردی دارد ، هر چند که با انتزاعی بودن نظریه ها همراه باشد . ولی پیشرفت ریاضیات تحت تأثیر جدی انگیزة درونی هم قرار دارد . ریاضیات دارای منطقی درونی است . منطق درونی ریاضیات نه تنها مفهوم ها و قضیه ها را مانند حلقه های یک زنجیر به هم مربوط میکند ، بلکه در ضمن ، راه را برای ادامه آن هم نشان می دهد . نظریه های زیادی را می توان برای نمونه آورد که در آغاز ، با انگیزة درونی آن و نیز منطق درونی ریاضیات ، بدون آگاهی از جنبه های کاربردی آن ، بوجود آمده اند ، ولی نظریه های ناشی از انگیزه های درونی ریاضیان نیز در تحلیل آخر و به موقع خود ، کاربردی عملی پیدا می کنند ، زیرا براساس مفهوم هایی ساخته شده اند که ریشه در واقعیت جهان بیرون دارند .

نمونه‌ای می آوریم . در میانه های سدة نوزدهم ، نوشتة جرج بول 1(1815-1864م) ، ریاضیدان ایرلندی ، درباره منطق ریاضی منتشر شد . در آن زمان درباره این نوشته می گفتند : « این ، یک بازی با نشانه ها و دشمن هر گونه اندیشه است » . « این نوشته هیچ گونه ارزش عمل ندارد » و به ایت ترتیب ، این نوشته در آن زمان پذیرفته نشد .

سالها بعد ، این نوشته‌ای که « دشمن هر گونه اندیشه بود » و « هیچ گونه ارزش عملی نداشت » ، در کار ساختمان رایانه ها کاربردی جدی پیدا کرد . در اینجا ، نیروی درونی ریاضیات عمل می کند و تکامل آن به صورتی مستقل و به عنوان نتیجه‌ای از نظریه های قبلی انجام می گیرد و نظریه های انتزاعی تازه و تازه تری به دست می دهد .

این نظریه های تازه نتیجه ی پیشرفت طبیعی انتزاع است . تنها به نظر می رسد که از بنیانهای خود جدا شده اند ، ولی در واقع ، آنها نیز به دنیای مادی و به طبیعت که از آن جدا شده اند ، بر می گردند و همین دنیای مادی درستی آنها را تأیید می کند  .

نظریه ها و عمل نمی توانند خیلی از هم فاصله بگیرند و اگر یکی از آنها جلو افتاد ، دیگری سعی می کند خود را به آنها برساند .

باید به این نکته هم اشاره کرد که هرگز در هیچ زمانی نمی توان قانونمند بودن تکامل ریاضیات را یک بار برای همیشه تنظیم کرد . طبیعت منطقی سازوکارهای کلی تکامل دانش ریاضی به ما تلقین می کند هیچ روشی جاویدان نیست . هر روشی در طول زمان تکامل می یابد ، و یا به نناچار ، روشی جایگزین روش پیشین می شود .

ضمن بررسی قانونمندیهای دانش و از آن جمله ریاضیات ، نمی توان عنصرهای منطقی آن را جدا از تاریخ واقعی دانش در نظر گرفت. داوری دربارة سازوکارهای تکامل بدون توجه به تاریخ ممکن نیست .

 

زبان ریاضیات :

اگر به سرزمین جدیدی سفر کنید که زبان مردم آنجا را ندانید و نیز ندانید که در آنجا چه می گذرد ، سفر برایتان لذتی ندارد . در قلمرو ریاضیات نیز چنین است . کسی که زبان ریاضی را نداند نمی تواند این علم را درک کند . ارتباط و تبادل نظر ریاضی روزگاری در بین ریاضی دانان مشکل بود ، اما آنها با اختراع زبان ریاضی که شامل علائم نوشتاری ویژه‌ای است ، این مشکل را از میان برداشتند .

در چند صفحه آینده درباره ی معانی علائم ، نشانه ها و کلماتی که دانستن آنها برای فهمیدن و لذت بردن از این کتاب لازم است ، آشنا می شوید . با وجود اینکه ممکن است زبان ریاضی  ناآشنا به نظر برسد ، اما فهم آن آسان است .

بنابراین در دستگاه عدد نویسی معمولی ، برای نوشتن نماد عددها ، دسته بندی ده تایی می کنیم و می گوییم مبنای این دستگاه 10 است . نماد هر عدد را در دستگاه عدد نویسی به مبنای 10 با توانهای 10 توضیح می  دهیم .

 

مبناهای دیگر :

اینکه برای نوشتن نماد عددها مبنای 10 را انتخاب کرده اند ، به احتمال زیاد مربوط به آن است که بشر 10 انگشت دارد . اگر بشر در هر دست چهار انگشت می داشت ، شاید طبیعی آن می بود که برای نوشتن نماد عددها ، اشیاء را به دسته های 8 تایی دسته بندی می کرد ، در این صورت دستگاه عدد نویسی او دستگاه به مبنای 8 بود . می توان عددی را به عنوان مبنا انتخاب کرد و دستگاه عدد نویسی با آن مبنا ساخت و نماد عددها را نوشت .

در دستگاه عدد نویسی به مبنای 3 عدد 2101 را می نویسیم :

3⁰ 1+3¹ 0+3² 1+3³ 2= 2101₃

       1 1+3 0+9 1+27 2=

                                                     1+0+9+54  =

                                                                   64= 

که عدد 2101₃  در دستگاه دهدهی برابر 64 است . وقتی که نماد عددها را در دستگاه به مبنای 10 می نویسیم ، ده رقم نیاز داریم . برای نوشتن نماد عددها در هر یک از دستگاهها به مبنای 3 یا 4 یا 5 به ترتیب 3 یا 4 یا 5 رقم نیاز داریم .